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We consider random Schr?dinger equations on
for d ≥ 3 with identically distributed random potential. Denote by λ the coupling constant and ψt the solution with initial data ψ0. The space and time variables scale as
with 0 < κ < κ0(d). We prove that, in the limit λ → 0, the expectation of the Wigner distribution of ψt
converges weakly to a solution of a heat equation in the space variable x for arbitrary L
2 initial data. The diffusion coefficient is uniquely determined by the kinetic energy associated to the momentum υ.
This work is an extension to the lattice case of our previous result in the continuum [8,9]. Due to the non-convexity of the
level surfaces of the dispersion relation, the estimates of several Feynman graphs are more involved.
Submitted: April 18, 2006. Accepted: October 12, 2006.
László Erdős: Partially supported by NSF grant DMS-0200235 and EU-IHP Network ‘Analysis and Quantum’ HPRN-CT-2002-0027.
Manfred Salmhofer: Partially supported by DFG grant Sa 1362/1-1 and an ESI senior research fellowship.
Horng-Tzer Yau: Partially supported by NSF grant DMS-0307295 and MacArthur Fellowship. 相似文献
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László Erdős Manfred Salmhofer Horng-Tzer Yau 《Communications in Mathematical Physics》2007,271(1):1-53
We consider random Schrödinger equations on \({\mathbb{R}^{d}}\) for d≥ 3 with a homogeneous Anderson-Poisson type random potential. Denote by λ the coupling constant and ψ t the solution with initial data ψ0. The space and time variables scale as \({x\sim \lambda^{-2 -\kappa/2}, t \sim \lambda^{-2 -\kappa}}\) with 0 < κ < κ0(d). We prove that, in the limit λ → 0, the expectation of the Wigner distribution of ψ t converges weakly to the solution of a heat equation in the space variable x for arbitrary L 2 initial data. The proof is based on a rigorous analysis of Feynman diagrams. In the companion paper [10] the analysis of the non-repetition diagrams was presented. In this paper we complete the proof by estimating the recollision diagrams and showing that the main terms, i.e. the ladder diagrams with renormalized propagator, converge to the heat equation. 相似文献
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